Abstrakt
Spomenieme Euklidov dôkaz nekonečného počtu prvočísel cez pojem primoriálneho čísla a otvorený problém nekonečného počtu primoriálnych prvočísel. Na podporu toho, že prvočísla majú „častý výskyt,” uvedieme Dirichletovu vetu, Hypotézu prvočíselných dvojčiat a Goldbachovu hypotézu, a na podporu toho, že majú „zriedkavý výskyt,” argumentujeme ľubovoľne veľkými prime gaps a spomenieme jumping champions. Názor, že o prvočíslach vieme stále málo, podporuje aj 13 otvorených problémov, ktoré počas prednášky spomenieme. Z problémov nedávno zodpovedaných spomenieme Erdösov problém vyriešený Terencom Taom, týkajúci sa existencie n prvočísel v aritmetickej postupnosti pre ľubovoľné n [Terence Tao spolu s ďalším veľmi mladým matematikom Benom Greenom vyriešili dôležitý špeciálny prípad Erdösovho problému, čo sa dnes nazýva Greenova-Taova veta. Pozn. RH]. Názor, že o prvočíslach vieme relatívne dosť podporíme Gandiho vzorcom (rekurzívnou formulou) pre n-té prvočíslo a vysvetlíme, prečo funguje. Spomenieme pseudoprvočísla a AKS algoritmus a tiež Fermatove čísla a Eisensteinovu hypotézu o nekonečnom počte Fermatových prvočísel. Zmienime sa o Eulerovom i Goldbachovom argumente pre nekonečnosť počtu prvočísel, pričom ukážeme, ako ten druhý využíva Fermatove čísla. Záverom spomenieme aj vlastné skúmanie (s P. Maličkým) pojmu superprvočísel ako špeciálnych prvočísel a niektoré súvisiace hypotézy. Napokon sa zmienime o hypotéze zovšeobecnenia Dirichletovej vety, z ktorej vyplývajú aj známe hypotézy ohľadne nekonečného počtu Fermatových a Mersennových prvočísel.
11 komentárov:
Na Bukowskeho :-) mi nevyslo zajst, ale Haviara by som kuknut a popocuvat dobehol - pokial nebudeme mat rockovanie u klienta.
napadla ma statisticka uloha: if A correlates with B (R=0.8) and B correlates with C (R=0.8), what, if any, minimal correlation must exist between A and C?
Michal: To je fajn príklad, ale takéto rátame skôr na vyučovaní. V tejto formuácii si to samozrejme vyžaduje poznať presnú definíciu korelačného koeficientu náhodných premenných a ak by som to formuloval cez vektory, tak je zasa odpoveď veľmi jednoducho vidieť ( cos(2arccos(0.8)), čiže 0.28 ). Porozmýšľam či sa z tejto myšlienky nedá nejako jednoducho vyťažiť príklad vhodný pre blog.
dakujem! tiez som dospel k tomuto rieseniu. napriek tomu, ze som vsade na googli cital ze korelacia tranzitivna nie je. tym ale asi skor mysleli, ze dve pozitivne korelacie medzi A a B a B a C nie su postacujucou podmienkou pozitivnej korelacie medzi A a C... od urcitej urovne ale zjavne su, tj odvtedy odkedy je cos(2arccosx) kladne...
OK. Ak si definuješ binárnu reláciu B na množine všetkých náhodných premenných s konečnou a nenulovou disperziou tak, že X a Y sú v relácii B vtedy a len vtedy, keď je korelačný koeficient premenných X a Y kladný, tak B skutočne nie je tranzitívna; písali správne.
No a hneď máme aj jednu trochu menej školskú úlohu -- aká najmenšia "prahová" korelácia T garantuje pozitívnu koreláciu medzi začiatkom a koncom postupnosti. T.j aké najmenšie T garantuje, že ak máme (n+1) náhodných premenných, A_0 .. A_n, pričom korelácie (A_i, A_{i+1}) sú aspoň T, tak korelácia (A_0, A_n) bude pozitívna?
Ak som sa nesekol, pre N=2 dostaneme Roriho (nesprávnu) odpoveď z úplne iného threadu... 1/sqrt(2) :-)
Mal som zas preklep - tak znova :) :
Goober - nie si Ty moja zena? Raz sa clovek pomyli ... a ma to potom na ociach kazdy den :) :) :)
Nie, to teda skutočne nie som :-)
Moja pamäť je zvyčajne dostatočne krátkodobá a už som na to skoro aj zabudol... ale keďže si mi to znova pripomenul, tak si to číslo odteraz budem určite pamätať ako RChF, Roriho Chybový Faktor :-)
Bukovsky mal skvelu prednasku a Haviara si pamatam z cviceni ako dobreho cviciaceho. Tak hadam mu to zostalo :)
goober: Áno, je možná aj taká úloha a inak nesekol si sa (tá hraničná korelácia je cos(pi/(2N)) v Tvojom značení). Možno to spracujem ako úlohu na blog; momentálne mám ale veľmi málo času. Radšej najbližšie pridám úlohu, ktorá ma napadla na dnešnej prednáške doc. Haviara, lebo to mám premyslené.
Zverejnenie komentára